ゲーデル、エッシャー、バッハ―あるいは不思議の環

概要

数学者クルト・ゲーデル、画家マウリッツ・エッシャー、作曲家ヨハン・ゼバスティアン・バッハという一見無関係な3人の業績に共通して現れる「自己言及」と「ストレンジ・ループ(奇妙な環)」という構造を軸に、形式システム・数理論理学・分子生物学・人工知能・意識といった多岐にわたる領域を横断しながら、「意味や自己とは、単純な規則に従う要素の集まりからどのようにして立ち現れるのか」という問いに迫る学際的なノンフィクション。著者のダグラス・R・ホフスタッターはアメリカの認知科学者・物理学者で、本書は彼がインディアナ大学在学中から構想を温めてきた著作とされる。原著は1979年にアメリカで刊行され、翌1980年にノンフィクション部門のピューリッツァー賞と全米図書賞を受賞した。日本語版は野崎昭弘・はやしはじめ・柳瀬尚紀の3名による翻訳で1985年に白揚社から刊行され、2005年には原著刊行20周年を記念した新版も出版されている。本書最大の特徴は、各章の間に「アキレスと亀」をはじめとする対話篇(ルイス・キャロルの『アキレスと亀の対話』に着想を得たもの)を挟み込む構成にあり、これらの対話篇自体がバッハのカノンやフーガの形式を文章の上で模倣する仕掛けになっている点にある。

本の構成

全20章から成り、各章の前に短い対話篇が置かれるという二重構造を持つ。対話篇には「三声のインヴェンション」「小さな協奏曲(カニのカノン)」「ナマケモノのカノン」「無のカノン」など、バッハの音楽形式(カノン、フーガ、無限に上昇するような調性を持つ「無限階段」の技法)を文章構造として模した表題が付けられており、後半に進むにつれて対話自体が自己言及的な仕掛けを多重に持つようになる。本編は大きく2部構成をとり、第1部(第1章~第10章)では形式システム・数論・帰納的関数といった数理論理学の基礎概念が、著者が独自に考案した架空の形式体系「MIU システム」や「pq システム」を使った具体的な演習を通じて丁寧に導入される。第2部(第11章~第20章)では、遺伝暗号(DNA)と形式システムの類似性、人工知能研究における「意味」の扱い、ゲーデルの不完全性定理の証明の核心である自己言及的な命題の構成方法、そしてこれらすべてを貫く「ストレンジ・ループ」という概念そのものの考察へと展開し、最終章では意識や自己意識がニューロンという単純な要素の集まりからどのように創発するのかという問いに立ち返って締めくくられる。

主要な内容

形式システムとMUパズル(第1部前半)

本書は冒頭で、著者が考案した架空の記号操作ゲーム「MIU システム」を導入する。これは"M""I""U"という3つの記号と4つの機械的な変形規則だけから成る単純な形式システムで、「MI」から出発して規則を繰り返し適用することで「MU」という文字列を作れるかという問い(MUパズル)を読者に考えさせる。このパズルを通じて、形式システムの内部で規則通りに記号を操作すること(定理を導出すること)と、システムの外側に立ってその体系全体の性質(この場合は「MUは決して導出できない」という事実)を見抜くこととの間には本質的な違いがあることが示される。この「システムの内と外」という視点の区別が、本書全体を貫く中心的なテーマの一つとして繰り返し提示される。

ゲーデルの不完全性定理

第1部後半から中盤にかけて、クルト・ゲーデルが1931年に証明した不完全性定理の核心的なアイデアが、専門的な数式の詳細に深入りしすぎない形で丁寧に解説される。ゲーデルは、数論に関する命題や証明そのものを「ゲーデル数」と呼ばれる自然数として符号化する手法を編み出し、これによって「この命題はこの形式体系の中では証明できない」という自己言及的な命題を、その形式体系自身の内部で数論の命題として構成することに成功した。この命題が真であるにもかかわらず体系内では証明も反証もできないことから、十分に強力などのような無矛盾な形式体系にも、真だが証明不可能な命題が必然的に存在するという不完全性定理が導かれる。本書はこの証明の構造を、エピメニデスのパラドックス(「この文は偽である」という古典的な自己言及のパラドックス)との類比を通じて繰り返し説明し、自己言及こそがこの定理の核心にあることを強調する。

ストレンジ・ループと絵画・音楽との類比

「ストレンジ・ループ(奇妙な環)」とは、階層構造をたどって上へ上へ(あるいは下へ下へ)と進んでいくはずが、いつの間にか出発点に戻ってきてしまうという逆説的な構造を指す著者独自の概念で、本書の副題ともなる中心概念である。この概念の視覚的な実例として、エッシャーの版画作品(「上昇と下降」「滝」「描く手」「版画ギャラリー」など、階段を上り続けているのに元の場所に戻ってしまう、あるいは手が自分自身を描いているような不可能図形を描いた作品群)が繰り返し参照される。同様の構造は音楽の面ではバッハの「音楽の捧げもの」に含まれる「無限に上昇するカノン」(転調を繰り返すうちに、最初と同じ調に戻ってくるにもかかわらず、聴感上は音がどこまでも上昇し続けているように感じられる技法)にも見出され、数学(ゲーデルの不完全性定理)・絵画(エッシャー)・音楽(バッハ)という3つの異なる領域に共通して現れるこの自己言及的な環の構造こそが、本書のタイトルと主題の核心であることが示される。

DNA・タンパク質合成と形式システムの類比(第2部)

第2部では、分子生物学におけるDNA・RNA・タンパク質の関係(DNAの塩基配列という「記号列」が、リボソームという「機械」によって読み取られ、アミノ酸配列というまったく異なる種類の「産物」へと翻訳される過程)が、形式システムにおける記号操作と類比的に論じられる。ここでは、記号列(DNA)を操作する規則そのものを記述する情報もまた同じ記号列(DNA)の中に符号化されているという自己言及的な構造が指摘され、生命システムそのものがゲーデルの不完全性定理に見られるのと同種の自己言及的な階層構造を持つという議論が展開される。

人工知能・意味・意識への展開

本書後半では、当時の人工知能研究(記号処理パラダイムに基づくAI研究、パターン認識の課題)を題材に、「意味」とは記号そのものに内在するものではなく、記号を解釈するシステム全体の文脈の中で立ち現れるものであるという立場が論じられる。最終章では、脳内のニューロンという個々には「意味」を持たない単純な要素が、大量に相互接続されることで「自己」という高次のストレンジ・ループを作り出し、そこから意識や自我といった現象が創発するという著者の見解が示され、無生物的な物理法則に従う要素の集まりから、なぜ・どのようにして「私」という主観的な意識が生まれうるのかという、本書全体を貫く問いへの一つの答えが提示される。

具体例

MUパズルの具体的な規則例として、「文字列の末尾がIならUを付け加えてよい」「Mxという文字列があればMxxという文字列を作ってよい(xの部分を繰り返す)」「文字列中にIIIが含まれていればそれをUに置き換えてよい」「文字列中にUUが含まれていればそれを削除してよい」という4つの機械的な規則が示され、これらを繰り返し適用しても「MI」から「MU」を導出することは原理的に不可能であることが、文字列に含まれる"I"の総数を3で割った余りが規則の適用によって変化しないという不変量(インヴァリアント)を用いて証明される具体例が提示される。エッシャーの「描く手」は、右手が左手を描き、左手がまた右手を描くという相互に自己を生成し合う構造の具体例として、「滝」は水路をたどると水が高い位置から低い位置へ流れ落ちているはずなのに、一周すると元の高さに戻ってしまう不可能な構造の具体例として、それぞれ詳しく分析される。バッハの「音楽の捧げもの」に含まれる「蟹のカノン」は、楽譜を最初から演奏する声部と、同じ楽譜を最後から逆向きに演奏する声部とを重ね合わせても調和した音楽が成立するという、自己参照的な音楽構造の具体例として言及される。

実践への応用

本書で提示される「システムの内側にいる視点と外側から見る視点の区別」という考え方は、コンピュータプログラムのデバッグ(プログラムが自身のバグを内部から検出できない状況)や、組織論における自己評価の限界(組織が自分自身の問題を内部の基準だけで完全に把握することの難しさ)など、様々な自己参照的な状況を理解するための思考の枠組みとして応用できる。またDNA・タンパク質合成とプログラムの類比(データとそれを処理するプログラムが本質的に同じ記号列として扱えるという発想)は、後のコンピュータサイエンスにおける「プログラムはデータである」という考え方(ノイマン型コンピュータの基本原理や、LISPなどの言語設計思想)を理解する上での直観的な導入としても参照される。

位置づけ・評価

1980年にノンフィクション部門のピューリッツァー賞と全米図書賞(科学部門)を受賞し、数学・認知科学・人工知能に関心を持つ読者の間で長く読み継がれてきた学際的ノンフィクションの古典として位置づけられている。専門的な数理論理学の内容(ゲーデルの不完全性定理)を、専門知識を前提とせずに独自の思考実験や架空の形式システムを通じて理解させる叙述スタイルは、後の科学啓蒙書にも大きな影響を与えたとされる。一方で、扱われる領域が数理論理学・分子生物学・人工知能・音楽理論・言語学など極めて広範にわたり、対話篇の言葉遊び(原著の英語における駄洒落や頭字語の仕掛け)を含むその独特の文体から、難解な書物としてもしばしば言及される。刊行から半世紀近くを経た現在も、自己言及性や創発、意識の起源といったテーマを扱う議論において繰り返し参照される基本文献の一つであり、著者ホフスタッター自身もその後『メタマジック・ゲーム』『わたしは不思議の環』など関連するテーマを扱う著作を発表している。